Funciones de Variable Compleja - Carlos Ivorra Castillo

Capıtulo I: El plano complejo 1
1.1 Funciones de variable compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Transformaciones de M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Las funciones trigonom´etricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Indices de arcos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Capıtulo II: Funciones holomorfas 25
2.1 Derivacion de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 La integral curvil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 El teorema y las f´ormulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Capıtulo III: Series de Taylor 49
3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Convergencia casi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Consecuencias de los desarrollos de Taylor . . . . . . . . . . . . . 68

Capıtulo IV: Productos infinitos 79
4.1 Productos numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2 Productos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3 Factorizacion de funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Numeros de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 La formula de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Capıtulo V: El teorema de Cauchy 111
5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.4 Clasificacion de singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.5 Funciones periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Capıtulo VI: La funcion factorial 145
6.1 Construccion de la funcion factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Otras expresiones para la funcion factorial . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Capıtulo VII: Series de Dirichlet 159
7.1 Convergencia de las series de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 Funciones aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.5 La distribucion de los numeros primos . . . . . . . . . . . . . . . 194

Capitulo VIII: El teorema de los residuos 217
8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.2 Aplicaciones al calculo de integrales . . . . . . . . . . . . . . . . 220
8.3 El teorema de Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.4 Sumas de Gauss cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Capıtulo IX: Funciones Harmonicas 255
9.1 Relacion con las funciones holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.2 Propiedades de las funciones harmonicas . . . . . . . . . . . . . . 259
9.3 Funciones subharmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Capıtulo X: Funciones enteras 279
10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.2 El teorema pequeño de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.3 El teorema grande de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Capıtulo XI: La funcion dseta de Hurwitz 299
11.1 Definicion y prolongacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.2 La ecuacion funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
11.3 Los ceros de la funcion dseta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
11.4 Funciones L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Capıtulo XII: Transformaciones conformes 325
12.1 Transformaciones de Mobius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.2 Dominios simplemente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12.3 El teorema de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Capıtulo XIII: Funciones multiformes 361
13.1 Prolongacion analıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
13.2 Funciones multiformes meromorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
13.3 Singularidades aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
13.4 Superficies de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
13.5 Superficies de germenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
13.6 Planos tangentes y diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387

Capıtulo XIV: Funciones algebraicas 393
14.1 Singularidades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
14.2 La configuracion analıtica de una funcion algebraica . . . . . . . 397
14.3 Raıces de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.4 Superficies de Riemann compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.5 Funciones harmonicas en superficies de Riemann . . . . . . . . . 413

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